Ein kleines Rätsel...


matt

Erfahrenes Mitglied
Der olympiareife Sprinter Achilles läuft mit einer Schildkröte um die Wette. Beide sollen dieselbe gerade Strecke durchlaufen. Da Achilles denkbar wesentlich schneller als die Schildkröte ist, lässt er ihr 100m Vorsprung.

Zenon, der alte Philosoph behauptet nun: Achilles wird die Schildkröte NIE überholen, egal, wie sehr er sich anstrengt und egal wie unlogisch sich das anhört.

Beweis: Jedes Mal, wenn Achilles eine Strecke zurück gelegt hat, ist die Schildkröte wieder weiter gekommen. Wenn er 100m weit gekommen ist (also dort hin, wo die Schildkröte angefangen hat), dann ist die Schildkröte wieder 10m weiter als er. Wenn er dann weitere 10 Meter gelaufen ist, dann ist die Schildkröte wieder 1m weiter als er. Egal, wie weit Achilles ist, die Schildkröte ist ihm immer um eine kleine Strecke vorraus. So geht das Spiel weiter und so sehr sich Achilles auch bemüht, er kann die Schildkröte nicht überholen! - q.e.d.

Man kann das auf alles Alltägliche übertragen, dann müsste es aber unmöglich sein, zu überholen, egal wer was :)

Das stimmt natürlich nicht, aber wo ist der Denkfehler?

Viel Spaß beim Rätseln ;)
matt

P.S.: Die Aufgabe ist es in diesem Fall, die Argumentation von Zenon als eindeutig unlogisch zu beweisen und NICHT ihm irgendwelche anderen Modelle aus der beobachteten Realität an den Kopf zu schmeißen! ;)
 
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Erpel

Erfahrenes Mitglied
Aber er kann nah genug rankommen, um die Schildkröte zu packen, und sie zu essen...

Lecker

?

Ne ernsthaft, hab nicht so wirklich die Peilung, aber klar ist, der gute Mann ist schneller. Um eine genaue Lösung zu sagen, müsste man allerdings wissen wie schnell der Läufer und die Schildkröte sind, ohne diese Angabe kann ich nur Spekulieren.
Achso(seh ich grad):
der Mann schafft 100m in der Zeit, in der die Schildkröte 10m Schafft. (Aussage des 2. Satzes).
Nennen wir diesen Zeitabschnitt X, oder einfach den Theoretischen Wert 1 Stunde. :)
Nach 2 Stunden hat der Mensch 200m und die Kröte mit dem Schild 110m.
Ergo: (genau hinsehn) Der gute Archilles ist weiter!
 

-pOrG-

Mitglied
Klar, richtig ist, dass die Schildkröte Auf der Gesamtstrecke 110 Meter gelaufen ist, während Achilles 100 gelaufen ist, keine Fragen, es stimmt auch, dass die Schildkröte immernoch einen MEter vor ihm ist, wenn Achilles 110 Meter gelaufen ist. Es würde auch stimmen, dass wenn er 111 MEter gelaufen ist, die Schildkröte noch 10 cm vor ihm ist.
Das erinnert an Grenzwertrechnung (limes) Wobei es hier eben keine Grenze gibt. Das Intervall in dem betrachtet wird, wird dabei immer kleiner. Wenn man immer ein gleiches Intervall betrachten würde (z.b. Alle 10 Meter) würde man bei 120 MEtern festellen, dass Achilles vorne ist.
Meine Meinung ist, also, dass er das Intervall mit gelaufener Strecke verkleinert. (Erinnert an eine e-Fkt)
Nur irgendwann kommt man ja bei einem Zeitpunkt an, an dem dieses Intervall 0 ist, der Punkt an dem Achilles die Schildkröte überholt.

Hm. klingt aber auch noch nicht so ganz richtig..
 

Dario Linsky

Erfahrenes Mitglied
Meine Meinung ist, also, dass er das Intervall mit gelaufener Strecke verkleinert. (Erinnert an eine e-Fkt)
Nur irgendwann kommt man ja bei einem Zeitpunkt an, an dem dieses Intervall 0 ist, der Punkt an dem Achilles die Schildkröte überholt.

Hm. klingt aber auch noch nicht so ganz richtig..
Rein rechnerisch ist das IMHO schon richtig, da die Distanz sich zwar sehr weit der 0 nähert, aber sie im Grunde nie erreicht. In der Beispielrechnung von Dir wird ja jeweils ein Zehntel der Distanz als neue Distanz errechnet, aber genau 0 ist eben kein Zehntel von irgendetwas.

Wenn dies aus einem Buch ist, hätte ich gerne den Namen oder noch besser die ISBN.
Terry Pratchett - Pyramiden (ISBN: 3-453-12327-1 - besitz es nur als Doppelband)
Genau genommen war es eigentlich mit einem Pfeil und einer Schildkröte... Läuft aber letztendlich auf das gleiche hinaus.
 

Dario Linsky

Erfahrenes Mitglied
Wenn Du eine bestimmte positive Zahl immer wieder durch zwei dividierst (oder auch durch zehn), wirst Du ebenfalls weder auf einen Wert gleich 0 noch einen negativen Wert kommen. Also ist es nach der Rechnung einfach nicht möglich, dass die Schildkröte überholt werden kann.
Im Bezug auf Realität ist das natürlich Schwachsinn, denn "mindestens ein Dutzend zerkratzte Schildkrötenpanzer beweisen, dass er sich irrt".
 

Tim C.

Erfahrenes Mitglied
Tja und wieder einmal beweist sich, dass das sture anwenden von Mathematik einen nicht immer weiterbringt.

Ich habe jetzt zu lange keine Mathematik mehr gemacht um genau zu sagen woran es liegt, dass das nicht aufgeht. Was ich mir jedoch denken könnte, wäre, dass man einfach die falsche mathematische Überlegung für ein Geschwindigkeitsproblem herangezogen hat, dass ja aus einer Relation von Strecke zu Zeit steht.
Betrachtet man nämlich nicht die Strecken Intervalle, sondern die Zeitintervalle sieht man, wie auch in der Praxis, dass der Läufer die Schildkröte überholt.

Da wir aber nicht wissen, auf welcher Basis Zenon gedacht hat, ist das "Problem" denke ich unlösbar. Evtl. hat er ja eine minimale mathematische Unachtsamkeit in seinem Grundgedanken, wie beim dem Beweis, dass 1=2 (oder irgendsowas hatte ich mal irgendwo gelesen als Fun-Beitrag irgendwo, aber war logischerweise an einer Stelle ein minimaler leicht zu übersehender Fehler drin).

PS: Was hat und mein Beitrag gebracht ? Keine Ahnung, an der Frage knobel ich auch noch ;-)
 

-pOrG-

Mitglied
schon klar, dass man nich auf 0 kommt. Da die Zahl periodisch ist. also der Punkt an dem der Läufer die Schildkröte überholt ist etwa 111,111 (periode). Dieser ist aber kleiner als 112 z.B.
Grund, dass dieser Beweis funktioniert ist, dass die Zahl periodisch ist.
 
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paleface

Gesperrt
Ok....meine Ergebnisse...

A: DIe Schildkröte ist 250 meter Joch so das sie bei nur EINEM Schritt nen ganzen Kilometer zurücklegt.
B:Achilles hat Angst vor ihr uns Traut sich nicht sie zu Überholen.
C:Sie laufen in verschiedenen Richtungen.

Was heist eigentlich 100 "Abstand"? Ist damit das selbe wie "VORSPRUNG" gemeint oder hat das was zu bedeuten?
 

jccTeq

Erfahrenes Mitglied
Ich würde sagen, der Denkfehler liegt daran, daß mit der Entfernung zwischen Start und aktueller Position auf Zeit gerechnet wurde und nicht mit der Gesamtstrecke, die ja beide Parteien mit ihrer individuellen, von einander unabhängigen Geschwindigkeit und Startposition zurücklegen. Die beiden Parteien sind, abgesehen vom gemeinsamen Ziel völlig unabhängig von einander. Da liegt der Kasus Knaxus. Er hat Abhängigkeiten gebildet wo keine waren.
 

Ashnazug

Mitglied
Also
Argumentativ beweisen das Zenon unlogisch gedacht hat....
Der Punkt an dem Achilles die Schildkröte überholen würde wäre bei 111.1112m (Um bei einer realistischen Zahl zubleiben) die Achilles rennen müsste.
Zenons Devinition der Vortbewegung von Achilles arlaubt es ihm nicht diesen Punkt zu erreichen (Zenon überlegt also von Grund auf nicht nach dem Prinzip vom Üerholen). Zenon wirt nicht Achilless Fähikeit diese 111.1112m zu rennen abschtreiten (Achilles ist ja schlieslich ein olympiareifer Sprinter). Da Achilles diese 111.1112m Rennen KANN (ich beziehe mich hierbei auf die generelle Möglichkeit einer Sache) und somit die Schildkröte überholt, ist Zenons Überlegung das Achilles die Schildkröte nicht überholen KANN (Zenon beziet sich ohne genauere Devinition der Situation auf die generelle Unmöglichkeit einer Sache) unlogisch/falsch.

Au mann jetz hab ich aber echt ne Hirn verknotung
hat eigentlich keiner ne musterlösung?
 

jccTeq

Erfahrenes Mitglied
Unter der Annahme, daß Achilles Masse 0KG beträgt, um die Beschläunigungsgegenkräfte und die damit einhergehende ansteigende Geschwindigkeit Achilles' außer acht zu lassen... um's einfach zu sagen, Achilles rennt bei der 0m Marke bereits mit voller Geschwindigkeit, ebenso, wie die Schildkröte bei der 100m Marke bereits mit voller Geschwindigkeit rennt (beide erreichen ihre genannten Punkte exakt zum selben Zeitpunkt).

Achilles legt in einer bestimmten Zeit eine bestimmte Strecke zurück. Die Schildkröte legt in der selben Zeit eine andere - aufgrund ihrer geringeren Geschwindigkeit kürzere - Strecke zurück. Gehen wir davon aus, daß Achilles die 100m in 10 Sekunden gelaufen ist, dann hat er in einer Sekunde 10m zurück gelegt (VAch = 10m/s). Die Schildkröte läuft in einer Sekunde ungefähr 5cm (VSch = 0,05m/s), um realistisch zu bleiben. Das heißt, die Schildkröte hat in dem Moment, in dem Achilles den 100m Punkt erreicht hat, eine Strecke von 0,50m zurück gelegt, die gleichzeitig ihren verbleibenden Vorsprung gegenüber Achilles darstellen. Beide individuellen Geschwindigkeiten bleiben konstant und sind zu jedem Zeitpunkt vollständig unabhängig von einander. Die nächste Sekunde ist entscheidend. Achilles legt 10 Meter zurück, die Schildkröte nur 5cm. Das heißt, nach 11 Sekunden ist Achilles bei der 110m Marke und die Schildkröte befindet sich bei 100,55m. Jetzt bräuchte ich eine Formel, ein Verfahren, mit dem man den tatsächlichen Punkt des Überholens berechnen kann. Es ist möglich, das ganze zu berechnen, jedoch bin ich kein Mathematiker.

Addon: erfassen wir die Positionen bei Zeitpunkt 20 Sekunden, so befindet sich Achilles an Marke 200m ( = 0m + (20s * 10m/s)) und die Schildkröte an Marke 101m ( = 100m + (20s * 0,05m/s)).

Zenon beging den Denkfehler, die Geschwindigkeiten und die Positionen der beiden Individuen relativ zu einander zu betrachten. Das ist falsch, das ist der Denkfehler.

Noch Fragen?
 
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zirag

Erfahrenes Mitglied
Ich sehe das so ( ohne Mathematischen Rechenweg ) :
Wenn es ein Start ( ist ja ein Wettlauf ) gibt , muss es auch ein Ziel geben .
Sagen wir mal das Ziel ist bei 200 m . also muss Achilles 200m laufen und die Schildkröte 100m . Jeder weiss dass der Mensch schneller ist als die Schildkröte. und wenn der Mensch 2 mal so schnell wäre wie die Schildkröte dann würden sie gleichzeitig ankommen , da aber der Mensch schneller ist , überholt er die Schildkröte und gewinnt das Rennen :D

So das ist meine ( meiner meinung nach realistische ) Lösung

--ZiRaG--
 

-pOrG-

Mitglied
Jccteq!
Der Punkt an dem sie sich überholen ist einfach 111,11111... periode, deswegen klappt diese Argumentation, weil der Überholpunkt periodisch ist...
 
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L

Leever

Ich Liebe paradoxes

Frage: Was ist wenn man eine Taschenlampe micht Lichtgeschwindigkeit bewegt und die Taschenlampe eingeschaltet ist, ist das Licht dann doppelt Lichtgeschwindigkeit ? :)

Korrigierte version:

Also was ich mir dazu gedacht habe, ist dass dieses Nur die Stecke die der Läufer braucht um die Schildkröte zu überholen. Das Problem bei dieser Anname ist nur, das dieser Punkt gegen unendlich läuft (konvergiert). Das der Überholpunkt gegen unendlich läuft leigt daran, dass Zenon seine Aufgabe so gestellt hat, dass die Messintervalle (Zeit) keinen konstanten Abstand haben, sondern auch gegen unendlich laufen

(wenn bei dem ersten Stopp A=100 und S=110 (eigentlich ja nur 10 wegen dem Startzeitpunkt an dem A losgelaufen ist, dann ist A 10 mal so schnell wie S)
Somit ister der erste Stoppzeitpunkt z.B. bei 10 sec, der nächste bei 1 sec. und dann bei 0.1 sec usw. (es wird immer größer)
Und das ist das Problem in der Aufgabenstellung, denn die Aufgabe ist so gestellt, dass der Überholpunkt nicht erreicht werden kann, da die Intervalle Konvergieren.

Wenn wir nun Konstante Messintervalle nehmen:

(sagen wir eine sec.)

1
A=10
S=1+100

2
A=20
S=2+100

3
A=30
S=3+100

usw.

11
A=110
S=11+100

(Hier liegt der Überholpunkt)
(Schnittpunkt zwischen den linearen fkt. f(a)=0,1X und f(s)=0.01X+10)
(was nach meiner Skizze wieder nach 1,111111111 usw. aussieht)


12
A=120
S=12+100

Das war mal mein Beitrag dazu ich hoffe man kann es nachvolziehen was ich meine.

MfG. Leever
 
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-pOrG-

Mitglied
nicht wirklich leever.
was ist, wenn die Schildkröte nur einen Centimeter läuft?
du rechnest da nur mit ganzen Metern, das mach die sache viel einfacher...